8．已知函数f（x）=lnx+x 2 -2ax+1（a为常数）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若存在x 0 ∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式2me a （a+1）+f（x 0 ）＞a 2 +2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

分析 （1）求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调区间；

（2）根据（1），得出f（x 0 ）的最大值，问题可转化为对任意的a∈（-2，0]，不等式2me a （a+1）-a 2 +-4a-2＞0都成立，构造函数h（a）=2me a （a+1）-a 2 +-4a-2，根据题意得出m的范围，由h（0）＞0得m＞1，且h（-2）≥0得m≤e 2 ，利用导函数，对m进行区间内讨论，求出m的范围．

解答 解：（I）f（x）=lnx+x 2 -2ax+1，

f'（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，

令g（x）=2x 2 -2ax+1，

（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（ii）当0＜a$≤\sqrt{2}$时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（iii）当a＞$\sqrt{2}$时，x在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；

在区间（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）和（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；

（II）由（I）知当a∈（-2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，

所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2-2a，对任意的a∈（-2，0]，

都存在x 0 ∈（0，1]，使得不等式a∈（-2，0]，2me a （a+1）+f（x 0 ）＞a 2 +2a+4成立，

等价于对任意的a∈（-2，0]，不等式2me a （a+1）-a 2 +-4a-2＞0都成立，

记h（a）=2me a （a+1）-a 2 +-4a-2，由h（0）＞0得m＞1，且h（-2）≥0得m≤e 2 ，

h'（a）=2（a+2）（me a -1）=0，

∴a=-2或a=-lnm，

∵a∈（-2，0]，

∴2（a+2）＞0，

①当1＜m＜e 2 时，-lnm∈（-2，0），且a∈（-2，-lnm）时，h'（a）＜0，

a∈（-lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（-lnm）=lnm-（2-lnm）＞0，

所以a∈（-2，-lnm）时，h（a）＞0恒成立；

②当m=e 2 时，h'（a）=2（a+2）（e a+2 -1），因为a∈（-2，0]，所以h'（a）＞0，

此时单调递增，且h（-2）=0，

所以a∈（-2，0]，时，h（a）＞0恒成立；

综上，m的取值范围是（1，e 2 ]．

点评 考查了导函数的应用和利用构造函数的方法，对存在问题进行转化，根据导函数解决实际问题．