一竖直放置的、长为$L$的圆筒下端封闭，上端与大气（视为理想气体）相通。初始时筒内气体温度为$T_{1}$.现将一可沿筒壁自由滑动的活塞从上端放进圆筒，活塞下滑过程中气体温度保持不变且没有气体漏出，平衡后圆筒内活塞上下两部分气柱长度比为$l:3$，若将圆筒下部气体温度降至$T_{2}$，在保持温度不变的条件下将筒倒置，平衡后活塞下端与圆筒下端刚好平齐。已知$T_{1}=2T_{2}$，大气压强为$p_{0}$，重力加速度为$g$。求活塞的厚度$L$和活塞密度$\rho $

设圆筒横截面内圆面积为$S$，初始时气体压强为$p_{0}$，体积为$V_{0}=LS$；当活塞下滑后圆筒下部气体压强为$p_{1}=p_{0}+\rho gd$，体积为${V}_{1}=\frac{3}{4}(L-d)S$；当圆筒倒置后筒内气体压强为$p_{2}=p_{0}-\rho gd$，体积为$V_{2}=\left(L-d\right)S$；把活塞从上端放进圆筒，在活塞下滑过程中气体温度保持不变，根据玻$--$马定律可得：${P}_{0}LS=({P}_{0}+ρgd)×\frac{3}{4}(L-d)S$；在将筒倒置过程，根据理想气体状态方程可得：$\frac{{P}_{0}LS}{{T}_{1}}=\frac{({P}_{0}-ρgd)×(L-d)S}{{T}_{2}}$，联立方程解得：$d=\frac{1}{12}L$，$ρ=\frac{60{P}_{0}}{11gL}$。答：（1）活塞的厚度为$\frac{1}{12}L$；$\left(2\right)$活塞的密度为$\frac{60{P}_{0}}{11gL}$。